유리식의 계산 – 유리식의 덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈 문제, 공통수학2

유리식의 의미

유리식은 두 다항식 A,B에 대하여 $\cfrac{A}{B}$로 나타낼 수 있는 식을 말합니다.
즉, $ \dfrac{식}{식} $ 의 형태를 가진 식을 모두 유리식이라고 합니다.

위 식은 $\dfrac{3}{x+4}$과 $\dfrac{x+1}{x+3}$을 더한 식입니다.

예)
$ \dfrac{2x+1}{3},\ \dfrac{x+1}{x-2},\ \dfrac{a^2-b}{b+3} $ 등은 모두 유리식입니다.

[참고] 유리식은 다항식을 포함하는 개념이므로, 0이 아닌 다항식을 곱하거나 나누어도 값이 변하지 않습니다.

유리식의 덧셈

유리식의 덧셈은 분모를 서로 같게 만든 뒤 분자를 더하는 과정입니다.
분모가 다르면 통분을 해야 하며, 분모가 같으면 분자만 더하면 됩니다.

예)
$ \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x} = \dfrac{5}{x} $
(분모가 같으므로 분자만 더한다)

예)
$ \dfrac{1}{x+1} + \dfrac{1}{2x} $

→ $\dfrac{2x}{2x(x+1)} + \dfrac{x+1}{2x(x+1)}$

→ $\dfrac{3x+1}{2x(x+1)}$

[정리] 유리식의 덧셈
① 분모가 같으면 분자끼리 더한다.
② 분모가 다르면 통분한다.
③ 가능하면 약분하여 간단히 한다.

유리식의 뺄셈

유리식의 뺄셈은 덧셈과 거의 같은 방식이며,
뺄셈 부호의 분배법칙 처리가 매우 중요합니다.
괄호를 제거할 때 부호가 바뀌는 점을 주의해야 합니다.

예)
$ \dfrac{5}{x} – \dfrac{2}{x} = \dfrac{3}{x} $

예)
$ \dfrac{3}{x-1} – \dfrac{1}{x+1} $

→ $\dfrac{3(x+1)}{x^2 – 1} – \dfrac{x-1}{x^2 – 1}$

→ $\dfrac{2x+4}{x^2 – 1}$

[참고] 괄호가 있는 뺄셈식은 반드시 괄호 제거 후 부호를 바꾸어 계산한다.

유리식의 곱셈

유리식의 곱셈은 약분 후 곱하기가 핵심입니다.
분수의 곱셈처럼 분자끼리, 분모끼리 곱하면 됩니다.

예)

$\dfrac{x^2}{x+1} \times \dfrac{x+1}{2x+1}$

=$ \dfrac{x^2 \,(x+1)}{(x+1)(2x+1)}$ x+1을 약분하면

=$ \dfrac{x^2}{2x+1}$

[참고] 곱셈에서는 통분이 필요 없고, 인수분해 후 약분이 중요합니다.

유리식의 나눗셈

유리식의 나눗셈은 나누는 수를 뒤집어 곱하는 것으로 바꾸면 됩니다. 역수를 취한 뒤 곱셈으로 계산합니다.

예)
$ \dfrac{x^2}{2} \div \left( \dfrac{x}{4} \right) $

→ $ \dfrac{x^2}{2} \times \dfrac{4}{x} $

→ $ \dfrac{x}{2} \times 4 $

→ $2x$

[정리] 유리식의 나눗셈
① 나눗셈 → 곱셈으로 변환
② 두 번째 분수의 분모·분자를 뒤집기
③ 인수분해 후 약분
을 순서대로 적용하면 된다.

유리식의 계산은 분수의 성질을 문자식으로 확장한 것에 불과합니다.
기본 규칙(통분, 약분, 역수)을 잘 이해하고 연습하면 복잡한 유리식도 쉽게 해결할 수 있습니다.

학습지 살펴보기

공통수학2-유리식의-사칙연산