유리함수의 그래프 | 공통수학2

유리함수란

유리함수는 다항식으로 이루어진 분수 형태의 함수를 말합니다.
즉, 다음과 같은 형태를 가집니다.

\[
f(x) = \frac{다항식}{다항식}
\]

분모가 0이 되는 값을 제외하고 정의되며, 이런 제한 때문에 그래프에서 ‘끊김’, 즉 점근선과 같은 특징이 나타납니다.

예)
\[
f(x)=\frac{2}{x},\quad g(x)=\frac{x+3}{x-1},\quad h(x)=\frac{4}{x^2+1}
\]
은 모두 유리함수입니다.

중학교 수학에서 학습한 반비례 그래프 $y = \cfrac{1}{x}$에서 비롯된 개형이 나타납니다.

[참고] 반비례 그래프 그리기

$y= \cfrac{1}{x}$의 그래프를 그려봅시다.

ㄹ

우선 x가 1,2,3,4,5…일 때 대응하는 y의 값은 다음과 같습니다.

x	1	2	3	4	5
y	$1$	$\cfrac{1}{2}$	$\cfrac{1}{3}$	$\cfrac{1}{4}$	$\cfrac{1}{5}$

이렇게 $(1,1)$, $(2, \cfrac{1}{2})$, $(3, \cfrac{1}{3})$, $(4, \cfrac{1}{4})$, $(5, \cfrac{1}{5})$를 연결하면 곡선을 그릴 수 있습니다.

마찬가지로 x가 -1, 2, -3, -4, -5…일 때 y의 값을 구하면 다음과 같습니다.

x	-1	-2	-3	-4	-5
y	$-1$	$ – \cfrac{1}{2}$	$- \cfrac{1}{3}$	$- \cfrac{1}{4}$	$- \cfrac{1}{5}$

이때 $(-1,-1)$, $(-2, – \cfrac{1}{2})$, $(-3, – \cfrac{1}{3})$, $(-4, – \cfrac{1}{4})$, $(-5, – \cfrac{1}{5})$를 연결하면 이전과 점대칭인 곡선을 그릴 수 있습니다.

[정리] 반비례 그래프 $y= \cfrac{a}{x}$에 대하여

-> 공통수학2에서 다루는 유리함수는 대개 반비례 그래프를 평행이동한 모습을 하고 있습니다. 중1 수학에서 공부했던 반비례 그래프를 복습해둡시다.

유리함수의 정의역

공통수학에서 공부하는 유리함수는 대개 $y= \cfrac{ax+b}{cx+d}$꼴을 하고 있습니다.

그래서 분모가 0이라면 y값을 얻을 수 없습니다.

따라서 유리함수의 정의역은 분모가 0이 되지 않는 모든 실수입니다.
= 분모를 0으로 만드는 값을 제외한 나머지 모든 값이 정의역입니다.

예) $f(x)=\cfrac{3}{x-2}$의 정의역은 분모가 0이 되는 $x=2$를 제외한 모든 실수입니다.

-> {$x$|$x \neq 2$인 모든 실수}

예) $g(x)=\cfrac{x+1}{x-3}$의 정의역은 분모가 0이 되는 $x=3$를 제외한 모든 실수입니다.

-> {$x$|$x \neq 3$인 모든 실수}

[정리] 유리함수의 정의역을 구하는 법

① 분모를 0으로 만드는 값을 찾는다.

② 그 값을 제외한다.

③ 나머지 모든 실수가 정의역이 된다.

유리함수의 점근선

유리함수는 그래프가 특정 직선에 가까워지지만 닿지 않습니다. 이처럼 함수가 끝없이 가까워지는 선을 점근선이라고 합니다.

점근선은 크게 두 가지입니다.

• x축과 나란한(혹은 일치하는) 점근선 : 분모가 0이 되는 x값 → $x=a$꼴로 표기

• y축과 나란한(혹은 일치하는) 점근선 : $x$이 끝없이 커질 때/끝없이 작아질 때 함숫값의 한계 → $y=b$꼴로 표기

예) $f(x)=\cfrac{2}{x-1}$의 점근선을 구해봅시다.

(1) x축에 나란하는(혹은 일치하는) 점근선: 분모가 0이 되게 하는 x의 값이므로 $x-1=0$, $x=1$입니다.

(2) y축에 나란하는(혹은 일치하는) 점근선: x가 끝없이 커질 때/작아질 때 y의 값이므로 이때 y는 0에 가까워집니다. 따라서 $y=0$입니다.

[정리] 유리함수의 점근선을 구하는 법

• $y=\cfrac{a}{x-b} + c$에 대하여 $( a \neq 0 )$
• 유리함수의 점근선은 $x=b, y=c$입니다.

유리함수의 그래프 그리는 법

유리함수 그래프를 그리려면

점근선을 먼저 그리고, 그 주변에서 그래프가 어떻게 움직이는지

두 단계로 나누어 생각합니다.

앞서 나누었던 반비례 함수 $y=\cfrac{1}{x}$ 그래프가 1사분면, 3사분면을 지나고 원점으로부터 점대칭 위치에 있는 함수(기함수)라는 점을 이용합시다.

이 함수를 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 이동하면,
\[
y=\frac{1}{x-a}+b
\]
가 됩니다.

이 유리함수의 점근선을 구하면 $x=a, y=b$입니다.

두 점근선을 먼저 그리고 개형을 그리면 유리함수를 그릴 수 있습니다.

예)

유리함수 식을 변형하여 점근선을 알아봅시다.

$y = \cfrac{4x+2}{2x+2}$는 $y = \cfrac{2(2x+2) -2 } {2x+2}$로

$y = 2 – \cfrac{2}{2x+2}$ = $y = 2 – \cfrac{1}{x+1}$입니다.

따라서 $y= – \cfrac{1}{x}$을 x축 방향으로 -1만큼, y축 방향으로 2만큼 이동한 모습입니다.

$x= -1, y= 2$를 각각 점근선으로 갖도록 긋고, 기본형이 $y= – \cfrac{1}{x}$이므로 점근선으로부터 2사분면, 4사분면 방향으로 선을 그으면 다음과 같습니다.

학습지 살펴보기

14번 점근선이 x=1로 표기되어 있습니다. -> x=-1이 바른 표현입니다.

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