들어가며
고등학교 1학년 수학 ‘공통수학2’의 ‘직선의 방정식‘ 단원에서 두 직선의 위치 관계는 두 직선이 일치/평행/수직할 때를 이용해 직선의 방정식을 구하는 형태입니다. 단순히 두 직선이 만나는지, 평행한지를 따지는 것을 넘어, 이를 통해 좌표평면 위에서 도형의 성질을 증명하거나 새로운 직선의 방정식을 유도해낼 수 있어야 합니다.
특히 우리가 푸는 문제들은 두 직선이 수직으로 만날 조건과 평행할 조건을 복합적으로 묻는 문제가 많습니다. 오늘은 직선의 방정식의 형태에 따른 위치 관계 공식을 정리하고, 실전 문제 풀이를 통해 적용력을 높여보겠습니다.
평행과 수직의 조건
직선의 방정식을 표현하는 방법은 크게 $y=mx+n$ 꼴의 표준형과 $ax+by+c=0$ 꼴의 일반형으로 나뉩니다. 문제에서 주어진 형태에 따라 가장 빠른 풀이 방법을 선택하는 것이 중요합니다.
| 구분 | 표준형 ($y=mx+n$) | 일반형 ($ax+by+c=0$) |
| 평행할 때 | 기울기가 같고, $y$절편은 다르다. $$m = m’, \quad n \neq n’$$ |
$x, y$ 계수의 비가 같고 상수항은 다르다. $$\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} \neq \frac{c}{c’}$$ (또는 $ab’ – a’b = 0$) |
| 수직일 때 | 기울기의 곱이 -1이다. $$m \times m’ = -1$$ |
$x, y$ 계수의 곱의 합이 0이다. $$aa’ + bb’ = 0$$ |
| 일치할 때 | 기울기와 $y$절편이 모두 같다. $$m = m’, \quad n = n’$$ |
모든 계수의 비가 같다. $$\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’}$$ |
일반형의 공식($aa’+bb’=0$)을 외우고 있으면 식을 변형하지 않고도 빠르게 수직 조건을 확인할 수 있어 계산 시간을 단축할 수 있습니다. 하지만 원리를 이해하기 위해서는 기울기의 곱이 $-1$이라는 표준형의 성질을 반드시 기억해야 합니다.
[참고] 두 직선이 평행할 때 x와 y 계수의 비가 같으므로 비례식을 세울 수도 있습니다.
$m:n=m’:n’$
2. 학습지 대표 유형 풀이
유형 1: 평행과 수직 조건을 이용한 미정계수 구하기
[문제 6번]
기울기가 $1$인 직선 $l$에 대하여 직선 $x + ay + 1 = 0$이 직선 $l$과 수직이고, 직선 $x – (b-1)y + 2 = 0$과 평행할 때, $a+b$의 값을 구하시오.
| [풀이 및 해설]
1. 수직 조건으로 $a$ 구하기 2. 평행 조건으로 $b$ 구하기 [정답] $a+b = 1+0 = 1$ |
유형 2: 수선의 발 구하기
[문제 12번]
점 $A(-1, 2)$에서 직선 $x – 2y + 10 = 0$에 내린 수선의 발 $H$의 좌표를 구하시오.
| [풀이 및 해설]
수선의 발 $H$는 점 $A$를 지나고 주어진 직선에 수직인 직선과 원래 직선의 교점입니다. 1. 수선 $AH$의 방정식 구하기 2. 교점 $H$ 구하기 [정답] $H(-2, 4)$ |
유형 3: 두 직선의 교점을 지나고 수직인 직선
[문제 15번]
두 직선 $x + y – 3 = 0$, $2x – y – 3 = 0$의 교점을 지나고, 직선 $3x + y = 0$에 수직인 직선의 방정식을 구하시오.
| [풀이 및 해설]
1. 두 직선의 교점 구하기 2. 수직인 직선의 기울기 구하기 3. 직선의 방정식 완성 [정답] $x – 3y + 1 = 0$ |
위 문제들처럼 직선의 위치 관계 문제는 기울기 조건(평행=같다, 수직=곱이 -1)을 먼저 찾고, 지나는 점을 대입하여 해결하는 흐름을 가집니다. 특히 일반형으로 주어진 경우 식을 변형하지 않고도 계수의 관계를 통해 바로 확인하는 연습을 해두면 좋습니다.
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