들어가며

초등학교 5학년 1학기 수학 ‘직육면체’ 단원에서는 입체도형의 구성 요소를 이해하는 것이 중요합니다. 예를 들어, 직육면체의 면은 6개, 꼭짓점은 8개, 모서리는 12개와 같이 구성요소가 각각 몇 개인지 알아보았죠? 오늘은 직육면체에서 밑면과 옆면이 무엇인지 개념을 정리하고 기본부터 심화까지 연습 문제를 풀어보며 익혀봅시다.

직육면체의 밑면 찾기

직육면체에서 밑면을 찾을 때 가장 중요한 기준은 ‘평행’입니다. 평행이란, 만나지 않고 나란한 경우를 의미했습니다.

[참고] 평행과 평행선 알아보기

직육면체를 구성하는 6개의 면 중에서 서로 평행하고 합동인 두 면을 밑면이라고 합니다. 이 두 면은 마주 보고 있으며, 아무리 넓게 펼쳐도 서로 만나지 않습니다.

직육면체는 마주 보는 면이 모두 평행하므로, 총 3쌍의 면이 밑면이 될 수 있습니다. 따라서 바닥에 놓인 면뿐만 아니라, 옆으로 세워지거나 마주 보는 어떤 쌍이라도 기준으로 삼으면 밑면이 될 수 있습니다. ‘밑’이라는 낱말에 집중해서 헷갈리지 않아야 합니다.

[정리] 밑면의 성질

1. 서로 평행합니다. (만나지 않습니다.) 2. 서로 합동입니다. (모양과 크기가 같습니다.) 3. 직육면체에서 밑면이 될 수 있는 면은 3쌍입니다.

[문제] 그림은 직육면체의 한 면을 색칠한 것입니다. 물음에 답해봅시다.

(1) 색칠한 면과 평행하는 면을 찾아 색칠해보세요.

(2) 색칠한 면과 평행한 면을 찾아 쓰세요.

(1) 면 ㄱㄴㄷㄹ에 평행하는 면을 찾으려면 만나지 않고 나란한 면을 찾아야 합니다. 나란한 면을 찾아 색칠하면 다음과 같습니다. (2) 회색으로 색칠한 면은 면ㅁㅂㅅㅇ입니다.

[참고] 면을 읽을 때에는 시계방향이나 반시계 방향으로 둘러 읽어야합니다. 면ㅁㅂㅅㅇ의 경우 ㅁ을 기준으로 반시계방향으로 ㅁ->ㅂ->ㅅ->ㅇ 순이므로 바르게 읽었다고 볼 수 있습니다. ㅁ->ㅂ->ㅇ->ㅅ순으로 읽으면 둘러싸 읽지 않았으므로 바르게 읽지 않았다고 볼 수 있습니다.

직육면체의 옆면 찾기

밑면이 정해지면 나머지 면들도 결정됩니다. 밑면과 수직으로 만나는 면을 옆면이라고 합니다. 즉, 두 밑면을 둘러싸고 있는 면들이 옆면이 됩니다. 직육면체의 겨냥도를 통해 살펴보면, 밑면과 이루는 각도가 직각(90도)인 면들을 쉽게 찾을 수 있습니다.

직육면체는 밑면에 수직인 옆면은 항상 4개가 존재합니다.

[참고] 옆면의 특징

옆면은 항상 밑면과 수직으로 만납니다. 직육면체에서 옆면은 4개입니다.

[문제] 그림은 직육면체의 한 면을 색칠한 것입니다. 색칠한 면과 수직인 면을 모두 찾아 쓰세요.

색칠한 면은 면 ㄴㅂㅅㄷ입니다. 이 면을 밑면으로 생각했을 때 옆면은 면 ㄱㄴㅂㅁ, 면 ㄱㄴㄷㄹ, 면 ㄷㄹㅇㅅ, 면 ㅁㅂㅅㅇ 입니다.

밑면과 옆면의 관계

직육면체의 밑면과 옆면은 어떤 면을 밑면으로 정하느냐에 따라 옆면이 달라집니다. 이는 정육면체의 전개도를분석할 때도 매우 중요한 개념이므로, 기준이 바뀌면 옆면도 바뀐다는 점을 이해해야 합니다.

예) 면 ㄱㄴㄷㄹ을 밑면으로 놓았을 때 면 ㄴㅂㅅㄷ은 옆면이 됩니다.

예) 면 ㄴㅂㅅㄷ을 밑면으로 놓았을 때 면 ㄱㄴㄷㄹ은 옆면이 됩니다.

예) 면 ㄱㅁㅇㄹ을 밑면으로 놓았을 때 평행한 면 ㄴㅂㅅㄷ은 같은 밑면이 됩니다.

심화 문제

직육면체의 밑면 개념을 이용하여 심화 문항을 해결해봅시다. 초5 수학에서 배웠던 약수와 배수, 수의 범위와 어림하기 단원 내용을 함께 담았습니다.

[문제] 그림과 같이 정육면체가 있습니다. 정육면체의 각 면에는 1이상 12이하의 수 중 하나의 수가 적혀 있습니다. 각 면에 적힌 숫자 중 겹치는 숫자는 없습니다.

정육면체에서 어떤 두 면을 밑면으로 약속할 때 두 면에 적힌 수를 각각 ㉠, ㉡이라 약속한다면 다음 규칙을 만족합니다.

(단, ㉠>㉡)

– ㉠은 ㉡의 배수입니다. – ㉠과 ㉡의 합은 6이상 15이하입니다.

위 정육면체에서 보이지 않는 면들에 적힌 수의 합을 ㉢이라 할 때, ㉢의 최솟값은 얼마입니까?

[풀이]

두 밑면(평행하는 두 면)에 적힌 수는 서로 약수와 배수가 됩니다. 이때 면 3의 맞은 편에는 약수로는 1이, 배수로는 6,9,12가 가능합니다. 면 4의 맞은편에는 약수로는 1,2가 배수로는 8,12가 가능합니다. 면 6의 맞은편에는 약수로는 1,2,3이, 배수로는 12가 가능합니다. 이를 그림으로 정리하면 로 나타낼 수 있습니다. 다음으로 조건 ‘㉠과 ㉡의 합은 6이상 15이하입니다.’에 의해 경우를 추릴 수 있습니다. 그런데 3이 적힌 면과 6이 적힌 면이 평행하지 않으므로 더 제외할 수 있습니다. 따라서 6의 평행한 면에는 숫자 2가 들어갑니다. 자연스럽게 4와 평행한 면에는 숫자 8이 들어갑니다. 따라서 3과 평행한 면에는 9 또는 12가 들어갑니다. 따라서 ㉢의 최솟값은 보이지 않는 세 면의 합이므로 2+8+9=19또는 2+8+12=22입니다. 따라서 최솟값은 19입니다.

학습지 살펴보기

초5-2-5단원-직육면체-직육면체의-밑면과-옆면

첨부된 학습지를 통해 다양한 형태의 직육면체 그림에서 직접 밑면을 설정하고, 그에 따른 옆면을 찾아 색칠해 보는 활동을 진행해 보시길 바랍니다. 직접 찾아보는 과정이 개념 정립에 큰 도움이 됩니다.