지난 시간에는 소인수분해의 기본 개념과 이를 이용해 소수와 합성수를 구별하는 방법에 대해 알아보았습니다. 이번 시간에는 소인수분해를 활용하여 자연수의 약수 개수를 쉽고 빠르게 구하는 방법을 학습합니다.

소인수분해를 이용하면 약수를 나열하지 않고도 약수가 몇 개인지 알 수 있습니다. 개념을 정리하고 중학교 1학년 1학기 수학 학습지의 예제 문제를 통해 실력을 다져봅시다.

약수의 개수 구하는 공식

어떤 자연수를 소인수분해했을 때, 각 소인수의 지수에 1을 더한 후 서로 곱하면 그 수의 약수의 개수가 됩니다.

[정리] 자연수 $N$이 $N = a^m \times b^n$ ($a, b$는 서로 다른 소수)으로 소인수분해될 때, $N$의 약수의 개수는 $(m+1) \times (n+1)$개입니다. 만약 소인수가 3개라면 $(m+1) \times (n+1) \times (k+1)$과 같이 확장할 수 있습니다.

[문제 1] 자연수 $280$의 약수의 개수를 구하는 과정을 단계별로 서술하시오.

[풀이] 공식을 적용하기 위해 3단계로 나누어 생각합니다.

1단계 (소인수분해하기): $280$을 소인수분해합니다. $$280 = 28 \times 10 = (2^2 \times 7) \times (2 \times 5) = 2^3 \times 5 \times 7$$ 2단계 (지수 구하기): 각 소인수의 지수를 확인합니다. 소인수 $2$의 지수는 $3$, 소인수 $5$의 지수는 $1$, 소인수 $7$의 지수는 $1$입니다. ($5=5^1, 7=7^1$) 3단계 (약수의 개수 계산): 각 지수에 1을 더하여 곱합니다. $$(3+1) \times (1+1) \times (1+1) = 4 \times 2 \times 2 = 16$$

[정답] $16$개

실전 연습 문제

공식을 익혔다면 다른 수에도 적용해 봅니다. 소인수분해 과정에서 계산 실수가 없도록 주의해야 합니다.

[문제 5] 자연수 $168$의 약수의 개수를 구하시오.

[풀이] 먼저 $168$을 소인수분해합니다.

$$168 = 8 \times 21 = 2^3 \times 3 \times 7$$ 각 소인수의 지수는 $3, 1, 1$입니다. 따라서 약수의 개수는 $(3+1) \times (1+1) \times (1+1)$을 계산합니다.

[정답] $4 \times 2 \times 2 = 16$(개)

약수의 개수가 주어질 때

반대로 약수의 개수를 알려주고, 그 개수를 가지는 자연수 중 가장 작은 수를 찾는 유형은 사고력을 요하는 심화 문제입니다. 약수의 개수가 6개라면, 지수의 관계가 $(5+1)$ 형태이거나 $(2+1) \times (1+1)$ 형태가 되어야 합니다.

[문제 19] 약수의 개수가 $6$개인 자연수 중 가장 작은 자연수를 구하시오.

[풀이] 약수의 개수가 6개가 되는 경우는 크게 두 가지로 나눌 수 있습니다.

경우 1) 소인수가 1개일 때 ($p^m$ 꼴): $m+1=6$이어야 하므로 $m=5$입니다. 가장 작은 소수 $2$를 대입하면 $2^5 = 32$입니다. 경우 2) 소인수가 2개일 때 ($p^a \times q^b$ 꼴): $(a+1) \times (b+1) = 6$이어야 합니다. 가능한 조합은 $2 \times 3$입니다. 즉, 지수가 각각 $1$과 $2$여야 합니다 ($a=1, b=2$ 또는 그 반대). 가장 작은 수를 만들기 위해 지수가 큰 쪽에 작은 소수를 배치합니다. $\rightarrow 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$ 두 경우에서 구한 수 $32$와 $12$ 중 더 작은 수는 $12$입니다.

[정답] $12$

지금까지 소인수분해를 활용하여 자연수의 약수의 개수를 구하는 방법을 알아보았습니다. 단순한 공식 암기를 넘어, 소인수분해의 구조를 이해하면 심화 문제도 논리적으로 해결할 수 있습니다. 아래 학습지를 풀어보며 연습해보시면 좋겠습니다.

학습지 살펴보기

[참고] 2020년에 만든 문제에서 심화 문제를 몇 개 추가하였습니다.

중1-1-2.-자연수의-약수의-개수

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