들어가며

고등학교 ‘공통수학1’ 과정에서 많은 학생들이 까다로워하는 부분 중 하나가 바로 절댓값이 포함된 일차부등식입니다. 단순히 공식을 외우는 것보다 절댓값의 정의를 이해하고, 구간을 나누어 접근하는 과정이 중요합니다.

오늘은 절댓값이 있는 일차부등식을 푸는 핵심 개념을 정리하고, 실제 연습문제를 통해 풀이 과정을 익혀보겠습니다.

핵심 개념 정리

유형 1: $|x| < a$ 또는 $|x| > a$ 꼴 ($a > 0$)

절댓값 기호가 좌변 전체에 씌워져 있고, 우변이 양수인 경우에는 범위를 나누지 않고 한 번에 풀 수 있습니다.

• $|x| < a \iff -a < x < a$ (사잇값)
• $|x| > a \iff x < -a \text{ 또는 } x > a$ (가장자리값)

유형 2: 범위를 나누어 푸는 방법 (만능 풀이법)

절댓값 기호 안이 $0$이 되는 $x$의 값을 기준으로 수직선을 나누어 풉니다. 절댓값 기호가 2개 이상이거나($|x-a| + |x-b| < k$), 우변에도 미지수가 있는 경우($|x-a| < 2x+1$)에는 반드시 이 방법을 사용해야 합니다.

단계	설명
1단계	절댓값 안을 0으로 만드는 $x$값을 찾습니다.
2단계	그 값을 경계로 구간을 나눕니다. (예: $x < a, \quad x \ge a$)
3단계	각 구간에서 절댓값을 풀고 부등식을 계산합니다. – 양수면 그대로: $|A| = A$ – 음수면 마이너스를 붙여서: $|A| = -A$
4단계	각 구간의 해를 구한 뒤, 합집합(또는)으로 최종 해를 구합니다.

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대표 문제 풀이

절댓값이 포함된 일차부등식의 대표 문항을 통해 실제 문제 풀이 감각을 익혀봅시다.

다음 부등식을 푸시오.

$$|5x + 2| \le 8$$

[풀이]
우변이 양수이므로 절댓값 성질을 이용하여 바로 식을 세웁니다.

1) $-8 \le 5x + 2 \le 8$
2) 각 변에서 2를 뺍니다.
$$ -10 \le 5x \le 6 $$
3) 각 변을 5로 나눕니다.
$$ -2 \le x \le \frac{6}{5} $$

[정답] $-2 \le x \le \frac{6}{5}$

다음 부등식을 푸시오.

$$|6x + 3| < 9$$

[풀이]
마찬가지로 사잇값 범위를 이용하여 해결합니다.

1) $-9 < 6x + 3 < 9$
2) 각 변에서 3을 뺍니다.
$$ -12 < 6x < 6 $$
3) 각 변을 6으로 나눕니다.
$$ -2 < x < 1 $$

[정답] $-2 < x < 1$

[심화] 절댓값이 2개인 경우의 접근법

학습지 후반부(17번~20번)에 등장하는 $|x-a| + |x-b| < k$ 형태는 다음과 같이 구간을 세 개로 나누어 풀어야 합니다.

• 첫 번째 구간: $x$가 가장 작은 경계값보다 작을 때 (둘 다 음수)
• 두 번째 구간: 두 경계값 사이일 때 (하나 양수, 하나 음수)
• 세 번째 구간: $x$가 가장 큰 경계값보다 크거나 같을 때 (둘 다 양수)

학습지 다운로드

아래 학습지를 다운로드하여 총 20문항의 절댓값 부등식 연산 문제를 풀어보세요. 정답지가 함께 포함되어 있습니다.

공통수학1-절댓값이-있는-일차부등식-연산연습-20