들어가며
중학교 1학년 수학 ‘소인수분해‘ 단원에서 가장 학생들이 어려워하는 부분은 바로 최대공약수와 최소공배수의 활용입니다. 특히 최대공약수와 최소공배수 중 어떤 것을 사용해야 할지 헷갈리는 경우가 많습니다.
최소공배수는 주로 ‘다시 만난다’, ‘동시에’, ‘가장 작은 정사각형/정육면체’ 등의 키워드가 등장할 때 사용할 수 있습니다.
오늘은 중학교 1학년 1학기 수학 학습지의 문제를 통해 최소공배수의 대표 유형 4가지를 정리해 보겠습니다.
유형 1: 시간 관련 문제
버스 배차 간격이나 운동장을 도는 속도가 다를 때, ‘처음으로 다시 동시에’ 출발하는 시각을 묻는 문제는 두 시간 간격의 최소공배수를 구하는 문제입니다.
| [문제 1] A 버스는 15분, B 버스는 20분 간격으로 배차된다. 오전 6시에 동시에 출발했을 때, 다음번에 처음으로 다시 동시에 출발하는 시각은? |
[풀이] 두 버스가 다시 동시에 출발하려면 흐른 시간이 15와 20의 공배수여야 합니다. ‘처음으로 다시’이므로 최소공배수를 구합니다.
- $15 = 3 \times 5$
- $20 = 2^2 \times 5$
- 최소공배수 $= 2^2 \times 3 \times 5 = 60$
60분, 즉 1시간 후에 다시 동시에 출발하므로 오전 6시 + 1시간 = 오전 7시입니다.
[정답] 오전 7시
유형 2: 정육면체 만들기
작은 직육면체 모양의 벽돌을 쌓아서 ‘가장 작은 정육면체’를 만드는 문제는 가로, 세로, 높이의 최소공배수가 정육면체의 한 변의 길이가 됩니다.
| [문제] 가로 12cm, 세로 16cm, 높이 20cm인 벽돌을 빈틈없이 쌓아 가능한 한 작은 정육면체를 만들려고 한다. 만든 정육면체의 한 모서리의 길이는? |
[풀이] 정육면체는 모든 모서리의 길이가 같아야 하므로, 12, 16, 20의 공배수가 한 변의 길이가 됩니다. ‘가능한 한 작은’ 정육면체이므로 최소공배수를 구합니다.
- $12 = 2^2 \times 3$
- $16 = 2^4$
- $20 = 2^2 \times 5$
- 최소공배수 $= 2^4 \times 3 \times 5 = 16 \times 15 = 240$
[정답] 240cm
유형 3: 톱니바퀴 문제
톱니 수가 다른 두 톱니바퀴가 회전하여 ‘같은 톱니에서 다시 맞물리는’ 상황은 맞물린 톱니의 총개수가 두 톱니 수의 최소공배수가 될 때입니다.
| [문제] 톱니 수가 72개인 톱니바퀴 A와 톱니 수가 60개인 톱니바퀴 B가 맞물려 돌고 있다. 회전하기 시작하여 처음으로 다시 같은 톱니에서 맞물릴 때 A는 최소 몇 바퀴 회전해야 하는지 구하시오. |
[풀이] 먼저 두 톱니 수 72와 60의 최소공배수를 구하여 총 맞물린 톱니 수를 알아냅니다.
- $72 = 2^3 \times 3^2$
- $60 = 2^2 \times 3 \times 5$
- 최소공배수(총 톱니 수) $= 2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$개
A가 몇 바퀴 회전했는지 구하려면 (총 톱니 수) $\div$ (A의 톱니 수)를 계산합니다.
$$360 \div 72 = 5$$
[정답] 5바퀴
유형 4: 곱하여 자연수가 되게 하는 수
분수에 어떤 자연수 $n$을 곱하여 결과가 자연수가 되려면, $n$은 분모들의 공배수여야 합니다. 가장 작은 자연수를 묻는다면 분모들의 최소공배수를 구하면 됩니다.
| [문제] 두 분수 $\frac{3}{20}$, $\frac{7}{30}$ 중 어느 것에 곱하여도 그 결과가 자연수가 되게 하는 가장 작은 자연수는? |
[풀이] 곱하는 자연수는 분모인 20과 30을 약분하여 1로 만들어야 합니다. 즉, 20과 30의 공배수여야 합니다.
- $20 = 2^2 \times 5$
- $30 = 2 \times 3 \times 5$
- 최소공배수 $= 2^2 \times 3 \times 5 = 60$
[정답] 60
지금까지 최소공배수를 활용하는 대표적인 4가지 유형을 알아보았습니다. 문제는 상황만 다를 뿐, ‘공통된 배수를 찾는다’는 핵심 원리는 같습니다. 아래 학습지를 다운로드하여 더 다양한 문제에 도전해 보시기 바랍니다.
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