중학교 1학년 수학의 첫걸음인 ‘소인수분해’는 수의 구성 원리를 파악하는 매우 중요한 과정입니다.
자연수를 더 이상 쪼개지지 않는 소수들의 곱으로 나타내는 과정을 통해 최대공약수, 최소공배수 등 다양한 성질을 쉽게 파악할 수 있기 때문입니다.
오늘은 핵심 개념을 정리하고, 중학교 1학년 1학기 수학 학습지에 수록된 대표 유형 문제들을 풀어보며 실력을 다져보겠습니다.
소수와 합성수
자연수는 약수의 개수에 따라 1, 소수, 합성수로 분류할 수 있습니다. 이 분류는 소인수분해를 시작하기 위한 가장 기초적인 약속입니다.
[정리] 소수는 1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수입니다. 반면, 합성수는 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 수, 즉 약수가 3개 이상인 수를 의미합니다. 단, 1은 소수도 아니고 합성수도 아닙니다.
| [문제 1] 다음 수 중에서 소수와 합성수를 각각 모두 찾고, 그 이유를 서술하시오. $$1, \quad 13, \quad 27, \quad 41, \quad 57$$ |
[풀이] 각 수의 약수를 조사하여 분류합니다.
- $1$: 약수가 1개뿐이므로 소수도 합성수도 아닙니다.
- $13$: 약수가 $1, 13$뿐이므로 소수입니다.
- $27$: 약수가 $1, 3, 9, 27$이므로 합성수입니다. ($3 \times 9 = 27$)
- $41$: 약수가 $1, 41$뿐이므로 소수입니다.
- $57$: 언뜻 소수처럼 보일 수 있지만, 각 자리 숫자의 합이 $5+7=12$로 3의 배수입니다. 즉, $3 \times 19 = 57$이므로 약수가 $1, 3, 19, 57$입니다. 따라서 합성수입니다.
소인수분해와 거듭제곱
소인수분해란 1보다 큰 자연수를 그 수의 소인수(소수인 인수)들만의 곱으로 나타내는 것을 말합니다. 이때 같은 수가 여러 번 곱해진 경우 거듭제곱을 사용하여 간결하게 표현합니다.
[참고] 소인수분해를 완료한 후에는 각 소인수의 합을 구하거나 소인수의 개수를 묻는 문제로 확장될 수 있으므로, 밑과 지수의 개념을 명확히 해야 합니다. 처음 연습할 때는 가지치기 방법을 활용하면 실수를 줄일 수 있습니다.
| [문제 3] 자연수 $120$을 소인수분해하는 과정을 설명하고, 결과를 거듭제곱 꼴로 나타내시오. |
[풀이] $120$을 가장 작은 소수부터 차례대로 나누어 몫이 소수가 될 때까지 계산합니다.
1) $120 \div 2 = 60$
2) $60 \div 2 = 30$
3) $30 \div 2 = 15$
4) $15 \div 3 = 5$
나눈 소수들과 마지막 몫을 모두 곱하면 $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5$가 됩니다. 이를 거듭제곱으로 표현하면 다음과 같습니다.
$$120 = 2^3 \times 3 \times 5$$
소인수분해를 이용한 약수 구하기
소인수분해를 이용하면 약수를 일일이 나열하지 않고도 약수를 구하거나 약수의 개수를 쉽게 알 수 있습니다. 어떤 자연수 $N$이 $N = a^m \times b^n$ ($a, b$는 서로 다른 소수)으로 소인수분해될 때, 약수의 개수는 $(m+1) \times (n+1)$개입니다.
| [문제 5] 소인수분해를 이용하여 $72$의 약수를 모두 구하는 과정을 서술하시오. |
[풀이] 먼저 $72$를 소인수분해합니다.
$$72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$$
$2^3$의 약수는 $1, 2, 4, 8$이고, $3^2$의 약수는 $1, 3, 9$입니다. 두 소인수의 약수들을 서로 곱하여 조합을 만들면 $72$의 모든 약수를 구할 수 있습니다.
- $1 \times (1, 3, 9) \rightarrow 1, 3, 9$
- $2 \times (1, 3, 9) \rightarrow 2, 6, 18$
- $4 \times (1, 3, 9) \rightarrow 4, 12, 36$
- $8 \times (1, 3, 9) \rightarrow 8, 24, 72$
[정답] $1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72$
최대공약수와 최소공배수의 활용
초등학교 때 배운 나눗셈 방식(L자 형태) 외에, 소인수분해를 이용하면 큰 수의 최대공약수와 최소공배수를 더 구조적으로 구할 수 있습니다. 이 과정에서 두 수의 공약수가 1뿐인 서로소 관계도 함께 이해해두면 좋습니다.
[정리] 소인수분해로 최대공약수 구하기: 공통인 소인수 중 지수가 같거나 작은 것을 택하여 곱합니다.
소인수분해로 최소공배수 구하기: 공통인 소인수 중 지수가 같거나 큰 것과 공통이 아닌 소인수를 모두 택하여 곱합니다.
| [문제 7] 두 수 $2^2 \times 3^3$과 $2^3 \times 3^2 \times 5$의 최대공약수를 소인수의 곱으로 나타내고 그 과정을 서술하시오. |
[풀이] 두 수를 나란히 비교합니다.
$$A = 2^2 \times 3^3$$
$$B = 2^3 \times 3^2 \times 5$$
1) 소인수 2: $2^2$과 $2^3$ 중 지수가 작은 $2^2$ 선택
2) 소인수 3: $3^3$과 $3^2$ 중 지수가 작은 $3^2$ 선택
3) 소인수 5: 공통된 소인수가 아니므로 선택하지 않음
[정답] $2^2 \times 3^2$
| [문제 8] 두 수 $18, 24$의 최소공배수를 소인수분해를 이용하여 구하는 과정을 서술하시오. |
[풀이] 먼저 각 수를 소인수분해합니다.
$$18 = 2 \times 3^2$$
$$24 = 2^3 \times 3$$
최소공배수는 모든 소인수를 포함하며, 지수가 큰 쪽을 선택합니다.
– 소인수 2: $2$와 $2^3$ 중 $2^3$ 선택
– 소인수 3: $3^2$과 $3$ 중 $3^2$ 선택
따라서 최소공배수는 $2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$입니다.
[정답] $72$
제곱수 만들기 심화 유형
어떤 자연수의 제곱이 되게 하려면, 소인수분해 했을 때 모든 소인수의 지수가 짝수가 되어야 합니다.
| [문제 10] $54 \times x$가 어떤 자연수의 제곱이 되도록 할 때, 가장 작은 자연수 $x$의 값을 구하고 과정을 서술하시오. |
[풀이] $54$를 소인수분해하면 다음과 같습니다.
$$54 = 2 \times 27 = 2 \times 3^3$$
어떤 자연수의 제곱이 되려면 지수가 모두 짝수여야 합니다. 현재 소인수 2의 지수는 1(홀수), 3의 지수는 3(홀수)입니다.
따라서 지수를 짝수로 만들기 위해 최소한 $2$가 하나, $3$이 하나 더 필요합니다.
가장 작은 자연수 $x = 2 \times 3 = 6$입니다.
[정답] $6$
실생활 활용 문제
최대공약수와 최소공배수는 톱니바퀴의 회전, 타일 붙이기, 분배 상황 등 다양한 실생활 문제에 적용됩니다. ‘다시 만난다’, ‘동시에’와 같은 키워드는 주로 최소공배수와 관련이 깊습니다.
| [문제 17] 톱니바퀴 A는 톱니가 20개, B는 28개이다. 두 톱니바퀴가 맞물려 회전하기 시작하여 처음으로 다시 같은 톱니에서 맞물릴 때까지 A는 몇 바퀴 회전해야 하는지 서술하시오. |
[풀이] 톱니바퀴가 같은 톱니에서 다시 맞물리려면 맞물린 톱니의 총 개수가 20과 28의 공배수여야 합니다. ‘처음으로 다시’ 만난다는 것은 최소공배수를 의미합니다.
1) 20과 28의 최소공배수를 구합니다.
$$20 = 2^2 \times 5$$
$$28 = 2^2 \times 7$$
$$\text{최소공배수} = 2^2 \times 5 \times 7 = 140$$
2) 총 140개의 톱니가 돌아가야 합니다. A 톱니바퀴는 톱니가 20개이므로, 회전수는 다음과 같습니다.
$$140 \div 20 = 7 \text{(바퀴)}$$
[정답] $7$바퀴
지금까지 소인수분해의 개념부터 활용 문제까지 살펴보았습니다. 서술형 문제는 풀이 과정을 논리적으로 적는 것이 중요하므로, 위 예시들을 참고하여 직접 식을 세우고 답을 도출하는 연습을 해보시길 바랍니다. 더 깊이 있는 학습을 위해 아래의 관련 글들도 함께 참고해 보세요.
학습지 살펴보기
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