들어가며
초등학교 3학년 2학기 수학 3단원 ‘원’에서는 원의 기본 요소인 원의 중심, 반지름, 지름을 구별하는 것에서 더 나아가 반지름과 지름 사이의 관계를 활용하여 길이를 계산하는 문제를 해결합니다.
이번 포스트에서는 원의 반지름과 지름의 길이 관계 및 도형 응용 문제 풀이법을 정리하고, 실전 연습을 위한 원에서 반지름·지름 구하기 학습지 PDF를 소개합니다.
원에서 반지름과 지름 바르게 찾기 PDF개념 설명 1: 반지름과 지름의 길이 관계
한 원에서 그릴 수 있는 반지름과 지름의 길이는 각각 모두 같으며, 다음과 같은 명확한 수량적 관계를 가집니다.
1. $\text{지름} = \text{반지름} \times 2$
2. $\text{반지름} = \text{지름} \div 2$
3. 한 원 안에서 반지름의 길이는 항상 지름의 절반이며, 지름은 반지름의 2배입니다.
문제에서 반지름이 주어진 경우 2를 곱해 지름을 구하고, 지름이 주어진 경우 2로 나누어 반지름을 구할 수 있습니다.
예) 지름이 $20\text{ cm}$인 원의 반지름 $\rightarrow 20 \div 2 = 10\text{ cm}$
[문제] 그림을 보고 빈칸 안에 알맞은 수를 써넣으세요. (지름이 $20\text{ cm}$로 주어진 원에서 반지름 $\square\text{ cm}$ 구하기)
주어진 원의 지름은 $20\text{ cm}$입니다. 반지름은 지름의 절반이므로 $2$로 나누어 줍니다.
$$\text{반지름} = \text{지름} \div 2 = 20\text{ cm} \div 2 = 10\text{ cm}$$
$$\text{정답: } 10$$
정사각형과 맞닿는 원의 성질
사각형이나 다른 도형 안에 원이 접해 있는 응용 문제에서는 원의 지름과 도형의 변의 길이 사이의 연관성을 찾는 것이 핵심입니다.
| 도형 유형 | 관계식 | 해결 전략 |
|---|---|---|
| 정사각형 안의 원 | $\text{정사각형 한 변} = \text{원의 지름}$ | $\text{반지름} = \text{한 변} \div 2$ |
| 정사각형 네 변의 합 | $\text{한 변} \times 4$ | $\text{지름} \times 4$ 로 둘레 계산 |
| (참고) 원의 중심을 이은 삼각형 | $\text{삼각형 한 변} = \text{반지름} \times 2$ | 두 원의 반지름 합이 한 변의 길이 |
[문제] 정사각형 안에 꼭 맞는 원이 있습니다. 원의 반지름이 $8\text{ cm}$일 때, 정사각형 네 변의 길이의 합을 구하세요.
1단계: 원의 반지름이 $8\text{ cm}$이므로 원의 지름은 반지름의 $2$배입니다.
$$\text{원의 지름} = 8\text{ cm} \times 2 = 16\text{ cm}$$
2단계: 정사각형 안에 꼭 맞게 들어가 있으므로 정사각형의 한 변의 길이는 원의 지름과 같은 $16\text{ cm}$입니다.
3단계: 정사각형 네 변의 길이의 합(둘레)을 구합니다.
$$\text{네 변의 길이의 합} = 16\text{ cm} \times 4 = 64\text{ cm}$$
$$\text{정답: } 64\text{ cm}$$
겹쳐진 원과 원의 중심을 통과하는 도형
크고 작은 두 원이 겹쳐 있거나, 작은 원이 큰 원의 중심을 지나는 경우에는 큰 원의 반지름과 작은 원의 지름을 잘 살펴봐야 합니다.
[문제] 작은 원이 큰 원의 중심을 지나고 있습니다. 큰 원의 지름이 $28\text{ cm}$일 때, 작은 원의 반지름 $\square\text{ cm}$를 구하세요.
1단계: 큰 원의 지름이 $28\text{ cm}$이므로 큰 원의 반지름을 구합니다.
$$\text{큰 원의 반지름} = 28\text{ cm} \div 2 = 14\text{ cm}$$
2단계: 그림에서 큰 원의 반지름은 곧 작은 원의 지름이 됩니다.
$$\text{작은 원의 지름} = 14\text{ cm}$$
3단계: 작은 원의 반지름을 구하기 위해 작은 원의 지름을 다시 $2$로 나눕니다.
$$\text{작은 원의 반지름} = 14\text{ cm} \div 2 = 7\text{ cm}$$
$$\text{정답: } 7$$
[문제] 그림과 같이 반지름이 $5\text{ cm}$로 크기가 같은 원 3개의 중심을 이어 그린 삼각형이 있습니다. 삼각형을 이루는 세 변의 길이의 합을 구하세요.
1단계: 두 원의 중심을 이은 선분(삼각형의 한 변)은 첫 번째 원의 반지름과 두 번째 원의 반지름이 만난 길이입니다.
$$\text{삼각형 한 변의 길이} = 5\text{ cm} + 5\text{ cm} = 10\text{ cm}$$
2단계: 세 원의 크기가 같으므로 이 삼각형은 한 변이 $10\text{ cm}$인 정삼각형입니다.
$$\text{세 변의 길이의 합} = 10\text{ cm} \times 3 = 30\text{ cm}$$
$$\text{정답: } 30\text{ cm}$$
학습지 및 정답지 다운로드
3학년 2학기 원 단원에서 출제되는 다양한 응용 심화 문제(사각형 속 원, 원의 중심을 지나는 원 등) 총 10문항을 만들어 넣었습니다.
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