들어가며
방에 있는 필통이나 교실에 있는 사물함, 혹은 달콤한 상자에 담긴 초콜릿을 보면서 공간을 얼마나 차지하고 있을까?라는 생각을 해본 적이 있나요? 이렇게 입체도형이 차지하는 공간의 크기를 수학에서는 ‘부피’라고 부릅니다.
[참고] 직육면체의 겉넓이를 공부하고 싶으시다면 다음 글을 참고하세요.
초콜릿 상자 안에 초콜릿이 몇 개나 들어갈지 손으로 일일이 세지 않아도, 오늘 배울 ‘쌓기나무 원리’만 알면 부피를 쉽게 구할 수 있습니다.
부피의 기본 단위와 쌓기나무
우리가 길이를 잴 때 $\text{cm}$라는 단위를 쓰는 것처럼, 부피를 잴 때도 전 세계 사람들이 똑같이 사용하기로 약속한 기본 단위가 있어요. 바로 $\text{cm}^3$(세제곱센티미터)입니다.
- 가로 $1\text{ cm}$, 세로 $1\text{ cm}$, 높이 $1\text{ cm}$인 아주 작은 주사위 모양의 쌓기나무가 있다고 상상해 봅시다.
- 이 쌓기나무 1개가 차지하는 공간의 크기를 바로 $1\text{ cm}^3$이라고 불러요.
- 즉, 어떤 직육면체 안에 이 쌓기나무가 총 몇 개 들어가는지 개수를 세어보면, 그게 바로 그 도형의 부피($\text{cm}^3$)가 됩니다..! 예를 들어, $1\text{cm}^3$짜리 쌓기나무 4개라면 부피가 $4\text{cm}^3$가 되겠죠?
[정리] 쌓기나무 개수와 부피의 관계
| $1\text{ cm}^3$ 쌓기나무의 개수 | 계산 원리 | 직육면체의 부피 |
|---|---|---|
| $1$개 | $1 \times 1$ | $1\text{ cm}^3$ |
| $12$개 | $1 \times 12$ | $12\text{ cm}^3$ |
| $30$개 | $1 \times 30$ | $30\text{ cm}^3$ |
[문제] 한 모서리의 길이가 $1\text{ cm}$인 쌓기나무를 사용하여 다음과 같이 직육면체를 만들었습니다. 물음에 답하세요.
그림을 보면 가로로 3개, 세로로 2개씩 쌓기나무가 1층에 놓여 있고, 이것이 총 1층까지 높게 쌓여 있는 것을 볼 수 있어요. 단계별로 풀어볼까요?
| 직육면체를 만드는 데 사용한 쌓기나무는 몇 개인가요? 1층에 놓인 개수는 가로 $\times$ 세로이므로 $3\times 2 = 6$개예요. 이게 1층까지 있으니까 모두 6개입니다. 이 직육면체의 부피는? 쌓기나무가 모두 6개 쓰였으므로 직육면체의 부피는 $6\text{ cm}^3$입니다. |
빠르게 구하는 직육면체 부피 공식
매번 쌓기나무의 개수를 손으로 다 세기에는 시간이 오래 걸립니다. 이때 가로, 세로, 높이에 놓이는 쌓기나무의 개수를 순서대로 곱하면 쌓기나무의 전체 개수와 같습니다.
$$\text{직육면체의 부피} = \text{가로} \times \text{세로} \times \text{높이}$$
[문제] 다음 직육면체의 부피를 구해봅시다.
→ 쌓기나무의 가로는 6칸, 세로는 3칸, 높이는 3칸입니다. 순서대로 곱하면
$6 \times 3 \times 3 = 18 \times 3 = 54$개의 쌓기나무가 쓰였습니다. 따라서 부피는 $54 \text{cm}^3$입니다.
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