약분과 통분
초등학교 5학년 1학기에서는 약분과 통분을 학습합니다.
약분을 이용하여 크기가 같은 분수를 간단하게 나타내어보기도 하고
통분을 공부하여 분모가 서로 다른 분수의 크기를 비교해볼 수 있었습니다.
오늘 학습할 유형은 통분과 관계가 깊습니다. 분모가 서로 다른 분수이더라도… 통분을 이용하면 어느 분수가 더 큰지 알아볼 수 있기 때문입니다.
하나. 통분을 이용한 개수 구하기
분모가 서로 다른 두 분수 사이에 있는 분수의 분자를 찾는 가장 기본적인 유형입니다.
[문제] $\frac{1}{2} < \frac{\Box}{18} < \frac{7}{9}$ 를 만족하는 자연수 $\Box$의 개수를 쓰세요.
풀이 가이드:
- 가운데 분수의 분모인 $18$로 모든 분수를 통분합니다.
- $\frac{1}{2}$은 분모와 분자에 $9$를 곱하여 $\frac{9}{18}$이 됩니다.
- $\frac{7}{9}$는 분모와 분자에 $2$를 곱하여 $\frac{14}{18}$이 됩니다.
- 따라서 식은 $\frac{9}{18} < \frac{\Box}{18} < \frac{14}{18}$ 가 됩니다.
- $\Box$에 들어갈 수 있는 자연수는 $10, 11, 12, 13$입니다.
정답: $4$개
둘. 조건에 맞는 분수 찾기
특정 분모를 가진 분수의 범위를 추론하고 약분 전의 상태를 알아내는 응용 유형입니다.
[문제] $\frac{\Box}{30}$ 을 약분하면 $\frac{2}{3}$보다 크고 $\frac{11}{15}$보다 작은 기약분수가 됩니다. $\Box$에 들어갈 자연수는 얼마인가요?
풀이 가이드:
- 기준이 되는 두 분수를 분모가 $30$인 분수로 통분하여 비교 범위를 만듭니다.
- $\frac{2}{3}$는 분모와 분자에 $10$을 곱하여 $\frac{20}{30}$이 됩니다.
- $\frac{11}{15}$는 분모와 분자에 $2$를 곱하여 $\frac{22}{30}$이 됩니다.
- 두 분수 사이에 있는 분수는 $\frac{21}{30}$뿐입니다.
- 따라서 빈칸 $\Box$에 들어갈 자연수는 $21$입니다.
정답: $21$
셋. 다중 조건을 만족하는 수 찾기
범위 조건과 약수의 개수 조건을 동시에 만족해야 하는 고난도 유형입니다.
[문제] 다음 두 조건을 만족하는 자연수 $\Box$를 구하세요.
(가) $\frac{1}{3} < \frac{\Box}{15} < \frac{4}{5}$ 를 만족합니다.
(나) $\Box$의 약수의 개수는 $3$개입니다.
풀이 가이드:
- 먼저 (가) 조건을 만족하는 범위를 찾기 위해 분모를 $15$로 통분합니다.
- $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$, $\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$ 이므로, $\Box$는 $6, 7, 8, 9, 10, 11$ 중 하나입니다.
- (나) 조건에서 약수가 $3$개인 수는 9입니다.
– $6$의 약수: $1, 2, 3, 6$ ($4$개)
– $7$의 약수: $1, 7$ ($2$개)
– $8$의 약수: $1, 2, 4, 8$ ($4$개)
– $9$의 약수: $1, 3, 9$ ($3$개) ✅
– $10$의 약수: $1, 2, 5, 10$ ($4$개)
정답: $9$
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